Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Основания $B C$ и $A D$ трапеции $A B C D$ равны соответственно 3 и 12, $B D = 6$ . Докажите, что треугольники $C B D$ и $B D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$ , рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы этих треугольников. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то они параллельны ( $BC \parallel AD$ ). Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle CBD = \angle BDA$ .

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$ , а в треугольнике $BDA$ — стороны $BD$ и $AD$ .

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
- Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ;
- Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .

4. Мы видим, что отношения равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$ . Это означает, что стороны треугольников пропорциональны.

5. Таким образом, у треугольников $CBD$ и $BDA$ угол $\angle CBD$ равен углу $\angle BDA$ , а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ