Задание №24 — Геометрия

Решение.

Для того чтобы доказать подобие треугольников $CBD$ и $BDA$, рассмотрим их элементы (стороны и углы).

1. Рассмотрим углы этих треугольников. Так как $BC$ и $AD$ — основания трапеции, то они параллельны ($BC \parallel AD$). Отрезок $BD$ является секущей для этих параллельных прямых. Следовательно, накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны: $\angle CBD = \angle BDA$.

2. Теперь проверим пропорциональность сторон, образующих эти равные углы. В треугольнике $CBD$ это стороны $BC$ и $BD$, а в треугольнике $BDA$ — стороны $BD$ и $AD$.

3. Вычислим отношение соответствующих сторон:
- Отношение меньших сторон: $\frac{BC}{BD} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$;
- Отношение больших сторон: $\frac{BD}{AD} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

4. Мы видим, что отношения равны: $\frac{BC}{BD} = \frac{BD}{AD} = \frac{1}{2}$. Это означает, что стороны треугольников пропорциональны.

5. Таким образом, у треугольников $CBD$ и $BDA$ угол $\angle CBD$ равен углу $\angle BDA$, а стороны, заключающие эти углы, пропорциональны. По второму признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними) треугольники $CBD$ и $BDA$ подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ