Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель, приняв за неизвестную величину искомую скорость.

1. Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. По условию задачи скорость на обратном пути была на 10 км/ч больше, то есть она равна $(x + 10)$ км/ч. Так как скорость не может быть отрицательной, $x > 0$.

2. Расстояние между городами составляет 60 км. Выразим время, затраченное на путь в каждую сторону:
— Время из А в В: $t_1 = \frac{60}{x}$ часов;
— Время из В в А (в движении): $t_2 = \frac{60}{x + 10}$ часов.

3. По условию задачи на обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа, и общее время, затраченное на обратный путь (время движения плюс время остановки), оказалось равно времени пути из А в В. Составим уравнение:
$\frac{60}{x} = \frac{60}{x + 10} + 3$

4. Решим полученное уравнение. Для этого перенесём все слагаемые в одну сторону и приведём к общему знаменателю:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 10} - 3 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{20}{x} - \frac{20}{x + 10} - 1 = 0$
Приведём к общему знаменателю $x(x + 10)$:
$\frac{20(x + 10) - 20x - x(x + 10)}{x(x + 10)} = 0$
$\frac{20x + 200 - 20x - x^2 - 10x}{x(x + 10)} = 0$
$\frac{-x^2 - 10x + 200}{x(x + 10)} = 0$

5. Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$-x^2 - 10x + 200 = 0$
Умножим на $-1$:
$x^2 + 10x - 200 = 0$

6. Найдём корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$
$\sqrt{D} = 30$
$x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

7. Так как скорость велосипедиста должна быть положительной ($x > 0$), корень $x = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста из А в В равна 10 км/ч.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ