Задание №20 — Алгебраические выражения

К списку заданий

#48147Задание №20ФИПИ

Уравнения и системы

Решите уравнение $\left(\right. x^{2} - 9 \left.\right)^{2} + \left(\right. x^{2} + x - 6 \left.\right)^{2} = 0$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

Проанализируем структуру уравнения: $(x^{2} - 9)^{2} + (x^{2} + x - 6)^{2} = 0$ .
Мы видим сумму двух выражений, каждое из которых возведено в квадрат. Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Сумма двух неотрицательных чисел может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из этих чисел одновременно равно нулю. Таким образом, наше уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} x^{2} - 9 = 0 \\ x^{2} + x - 6 = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$x^{2} - 9 = 0$
$x^{2} = 9$
$x_{1} = 3$ , $x_{2} = -3$ .

Теперь проверим, какие из этих корней удовлетворяют второму уравнению системы $x^{2} + x - 6 = 0$ . Для этого подставим найденные значения:

1) При $x = 3$ :
$3^{2} + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6$ .
$6 \neq 0$ , значит, число $3$ не является корнем системы.

2) При $x = -3$ :
$(-3)^{2} + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$ .
$0 = 0$ , равенство верно. Значит, число $-3$ является общим корнем для обоих выражений.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором оба квадрата одновременно обращаются в ноль, является $x = -3$ .

Ответ: -3

Источник: ФИПИ