Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $MBN$ и $ABC$. По условию прямая $MN$ параллельна стороне $AC$. Из этого следует, что:
— угол $B$ у этих треугольников общий;
— угол $BMN$ равен углу $BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$.
Следовательно, треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам (первый признак подобия).

2. Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{MN}{AC} = \frac{BN}{BC}$.

3. Обозначим искомую длину отрезка $BN$ за $x$. Тогда длина всей стороны $BC$ будет складываться из длин отрезков $BN$ и $NC$:
$BC = BN + NC = x + 36$.

4. Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{22}{55} = \frac{x}{x + 36}$.

5. Сократим дробь $\frac{22}{55}$ на $11$:
$\frac{2}{5} = \frac{x}{x + 36}$.

6. Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$2 \cdot (x + 36) = 5 \cdot x$
$2x + 72 = 5x$
$5x - 2x = 72$
$3x = 72$
$x = 72 : 3$
$x = 24$.

Таким образом, длина отрезка $BN$ равна $24$.

Ответ: 24

Источник: ФИПИ