Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). По условию задачи скорость течения реки равна $4$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки составляет $(x + 4)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 4)$ км/ч. При этом $x > 4$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

Шаг 1. Найдём время движения плота.
Плот движется со скоростью течения реки, то есть $4$ км/ч. По условию плот проплыл $28$ км. Время движения плота $t_{плота} = \frac{28}{4} = 7$ часов.

Шаг 2. Найдём время движения лодки.
Лодка вышла на $1$ час позже плота и закончила движение одновременно с ним (в момент, когда плот проплыл $28$ км). Значит, лодка находилась в пути на $1$ час меньше плота: $t_{лодки} = 7 - 1 = 6$ часов.

Шаг 3. Составим уравнение.
Лодка прошла $45$ км от А до В по течению и $45$ км от В до А против течения. Время на путь по течению: $\frac{45}{x + 4}$. Время на путь против течения: $\frac{45}{x - 4}$. Общее время движения лодки равно $6$ часам: $\frac{45}{x + 4} + \frac{45}{x - 4} = 6$

Шаг 4. Решим полученное уравнение.
Разделим обе части уравнения на $3$, чтобы упростить вычисления: $\frac{15}{x + 4} + \frac{15}{x - 4} = 2$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 4)(x - 4) = x^2 - 16$: $\frac{15(x - 4) + 15(x + 4)}{x^2 - 16} = 2$
$\frac{15x - 60 + 15x + 60}{x^2 - 16} = 2$
$\frac{30x}{x^2 - 16} = 2$
$30x = 2(x^2 - 16)$
$15x = x^2 - 16$
$x^2 - 15x - 16 = 0$

Шаг 5. Найдём корни квадратного уравнения.
Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом: $D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289 = 17^2$
$x_1 = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16$
$x_2 = \frac{15 - 17}{2} = -1$
Так как скорость не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 16$.

Ответ: 16 км/ч

Источник: ФИПИ