Задание №24 — Геометрия

#48153Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $A B$ . Докажите,
что прямые $A B$ и $I J$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $AIJ$ и треугольник $BIJ$ . В этих треугольниках сторона $IJ$ является общей.

2. Отрезки $IA$ и $IB$ являются радиусами первой окружности с центром в точке $I$ . Следовательно, $IA = IB$ .

3. Отрезки $JA$ и $JB$ являются радиусами второй окружности с центром в точке $J$ . Следовательно, $JA = JB$ .

4. Таким образом, треугольники $AIJ$ и $BIJ$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AIJ = \angle BIJ$ .

5. Теперь рассмотрим треугольник $AIB$ . Так как $IA = IB$ , этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$ .

6. Пусть прямая $IJ$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$ . В равнобедренном треугольнике $AIB$ луч $IK$ является биссектрисой угла при вершине $I$ (так как $\angle AIK = \angle BIK$ , что следует из равенства углов $\angle AIJ$ и $\angle BIJ$ ).

7. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Значит, $IK \perp AB$ .

8. Так как прямая $IJ$ содержит отрезок $IK$ , то прямая $IJ$ перпендикулярна прямой $AB$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ