Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $A B$ . Докажите,
что прямые $A B$ и $I J$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $AIJ$ и треугольник $BIJ$ . В этих треугольниках сторона $IJ$ является общей.

2. Отрезки $IA$ и $IB$ являются радиусами первой окружности с центром в точке $I$ . Следовательно, $IA = IB$ .

3. Отрезки $JA$ и $JB$ являются радиусами второй окружности с центром в точке $J$ . Следовательно, $JA = JB$ .

4. Таким образом, треугольники $AIJ$ и $BIJ$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AIJ = \angle BIJ$ .

5. Теперь рассмотрим треугольник $AIB$ . Так как $IA = IB$ , этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$ .

6. Пусть прямая $IJ$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$ . В равнобедренном треугольнике $AIB$ луч $IK$ является биссектрисой угла при вершине $I$ (так как $\angle AIK = \angle BIK$ , что следует из равенства углов $\angle AIJ$ и $\angle BIJ$ ).

7. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Значит, $IK \perp AB$ .

8. Так как прямая $IJ$ содержит отрезок $IK$ , то прямая $IJ$ перпендикулярна прямой $AB$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ