Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $I$ и $J$ пересекаются в точках $A$ и $B$ , причём точки $I$ и $J$ лежат по одну сторону от прямой $A B$ . Докажите,
что прямые $A B$ и $I J$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $AIJ$ и треугольник $BIJ$ . В этих треугольниках сторона $IJ$ является общей.

2. Отрезки $IA$ и $IB$ являются радиусами первой окружности с центром в точке $I$ . Следовательно, $IA = IB$ .

3. Отрезки $JA$ и $JB$ являются радиусами второй окружности с центром в точке $J$ . Следовательно, $JA = JB$ .

4. Таким образом, треугольники $AIJ$ и $BIJ$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AIJ = \angle BIJ$ .

5. Теперь рассмотрим треугольник $AIB$ . Так как $IA = IB$ , этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$ .

6. Пусть прямая $IJ$ пересекает отрезок $AB$ в точке $K$ . В равнобедренном треугольнике $AIB$ луч $IK$ является биссектрисой угла при вершине $I$ (так как $\angle AIK = \angle BIK$ , что следует из равенства углов $\angle AIJ$ и $\angle BIJ$ ).

7. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведённая к основанию, также является его высотой и медианой. Значит, $IK \perp AB$ .

8. Так как прямая $IJ$ содержит отрезок $IK$ , то прямая $IJ$ перпендикулярна прямой $AB$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ