Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Данное уравнение содержит квадратный корень, поэтому первым делом необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$5 - x \geq 0$
$x \leq 5$

Теперь перейдём к решению самого уравнения. Заметим, что в обеих частях уравнения стоит одинаковое слагаемое $\sqrt{5 - x}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения, при этом важно помнить об ограничении, которое мы нашли выше:
$x^{2} - 2x + \sqrt{5 - x} - \sqrt{5 - x} = 24$
$x^{2} - 2x = 24$

Перенесём число $24$ в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение стандартного вида:
$x^{2} - 2x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_{1} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$
$x_{2} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Теперь проверим полученные корни на соответствие ОДЗ ($x \leq 5$):
1) $x_{1} = 6$. Проверяем: $6 \leq 5$ — это неверно. Значит, число $6$ не является корнем исходного уравнения (при $x = 6$ выражение под корнем становится отрицательным).
2) $x_{2} = -4$. Проверяем: $-4 \leq 5$ — это верно. Корень подходит.

Таким образом, единственным решением уравнения является $x = -4$.

Ответ: -4

Источник: ФИПИ