Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $v$ км/ч — скорость первого бегуна. Тогда скорость второго бегуна равна $v + 8$ км/ч, так как по условию она на 8 км/ч больше.

1) Сначала проанализируем движение первого бегуна. Известно, что через 1 час ($t_1 = 1$ ч) ему оставалось 7 км до конца круга. Значит, длина всей круговой трассы $S$ складывается из расстояния, которое он уже пробежал, и оставшихся 7 км:
$S = v \cdot 1 + 7 = v + 7$ (км).

2) Теперь рассмотрим движение второго бегуна. Он пробежал этот же круг ($S$) на 3 минуты быстрее, чем за 1 час. Переведём 3 минуты в часы: $3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч}$.
Следовательно, время, за которое второй бегун пробежал полный круг, составляет:
$t_2 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$ (ч).

3) Составим уравнение для длины трассы $S$, используя скорость и время второго бегуна:
$S = (v + 8) \cdot \frac{19}{20}$.

4) Так как длина трассы $S$ в обоих случаях одинакова, приравняем полученные выражения:
$v + 7 = \frac{19}{20}(v + 8)$

5) Решим полученное уравнение. Для удобства умножим обе части на 20:
$20(v + 7) = 19(v + 8)$
$20v + 140 = 19v + 152$
$20v - 19v = 152 - 140$
$v = 12$

Таким образом, скорость первого бегуна равна 12 км/ч.

Ответ: 12

Источник: ФИПИ