Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения данного неравенства проанализируем структуру дроби $\frac{-17}{(x + 3)^2 - 7} \geq 0$.

1. Заметим, что в числителе дроби стоит отрицательное число $-17$. Чтобы вся дробь была больше или равна нулю, знаменатель должен быть отрицательным. При этом знаменатель не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно строгому неравенству для знаменателя:
$(x + 3)^2 - 7 < 0$

3. Решим полученное неравенство. Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, представив число $7$ как $(\sqrt{7})^2$:
$(x + 3 - \sqrt{7})(x + 3 + \sqrt{7}) < 0$

4. Найдём корни уравнения $(x + 3 - \sqrt{7})(x + 3 + \sqrt{7}) = 0$:
$x_1 = -3 + \sqrt{7}$
$x_2 = -3 - \sqrt{7}$

5. Воспользуемся методом интервалов. Отметим полученные точки на числовой прямой. Они разбивают прямую на три интервала:
— На интервале $(-\infty; -3 - \sqrt{7})$ выражение положительно.
— На интервале $(-3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7})$ выражение отрицательно.
— На интервале $(-3 + \sqrt{7}; +\infty)$ выражение положительно.

6. Нам подходит интервал, где выражение меньше нуля, то есть $(-3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7})$.

Ответ: $(-3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7})$

Источник: ФИПИ