Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Заметим, что в уравнении повторяется выражение $x - 1$. Для удобства решения воспользуемся методом введения новой переменной.

1. Введём замену. Пусть $t = \frac{1}{x - 1}$.
Тогда уравнение примет вид:
$t^{2} + 4t - 12 = 0$.

2. Решим полученное квадратное уравнение.
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_{1} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$t_{2} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6$.

3. Вернёмся к исходной переменной $x$.
Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 2$.
$\frac{1}{x - 1} = 2$.
По свойству пропорции: $2(x - 1) = 1$.
$2x - 2 = 1$;
$2x = 3$;
$x = 1,5$.

Случай 2: $t = -6$.
$\frac{1}{x - 1} = -6$.
По свойству пропорции: $-6(x - 1) = 1$.
$-6x + 6 = 1$;
$-6x = 1 - 6$;
$-6x = -5$;
$x = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}$.

4. Проверка области допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x - 1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$.
Оба найденных корня ($1,5$ и $\frac{5}{6}$) удовлетворяют этому условию.

Ответ: 0,833... (или $\frac{5}{6}$); 1,5.

Источник: ФИПИ