Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Заметим, что выражение во второй скобке в левой части уравнения представляет собой квадрат суммы. Применим формулу сокращённого умножения $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$:
$x^{2} + 4x + 4 = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = (x + 2)^{2}$.
Теперь перепишем исходное уравнение с учётом этого преобразования:
$(x - 1)(x + 2)^{2} = 4(x + 2)$.

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:
$(x - 1)(x + 2)^{2} - 4(x + 2) = 0$.

3. Мы видим, что в обоих слагаемых есть общий множитель $(x + 2)$. Вынесем его за скобки:
$(x + 2) \cdot ((x - 1)(x + 2) - 4) = 0$.

4. Упростим выражение во вторых скобках. Для этого раскроем произведение $(x - 1)(x + 2)$:
$(x - 1)(x + 2) = x^{2} + 2x - x - 2 = x^{2} + x - 2$.
Подставим это обратно в уравнение:
$(x + 2)(x^{2} + x - 2 - 4) = 0$,
$(x + 2)(x^{2} + x - 6) = 0$.

5. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Перейдём к совокупности двух уравнений:
1) $x + 2 = 0$, откуда $x_{1} = -2$.
2) $x^{2} + x - 6 = 0$.

6. Решим квадратное уравнение $x^{2} + x - 6 = 0$ через дискриминант:
$D = b^{2} - 4ac = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдём корни:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
$x_{2} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_{3} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Таким образом, уравнение имеет три корня: $-3$, $-2$ и $2$.

Ответ: -3; -2; 2.

Источник: ФИПИ