Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$. По условию задачи $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, следовательно, $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.

2. Заметим, что из точек $A_1$ и $C_1$ сторона $AC$ видна под одним и тем же углом (прямым). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3. Таким образом, точки $A$, $C_1$, $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$. Опишем эту окружность вокруг четырехугольника $AC_1A_1C$.

4. В полученной окружности углы $\angle AA_1C_1$ и $\angle ACC_1$ являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AC_1$.

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle AA_1C_1 = \angle ACC_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ