Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $A A_{1} C_{1}$ и $A C C_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники $AA_1C$ и $CC_1A$ . По условию задачи $AA_1$ и $CC_1$ — высоты, следовательно, $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$ .

2. Заметим, что из точек $A_1$ и $C_1$ сторона $AC$ видна под одним и тем же углом (прямым). Согласно геометрическому свойству, если отрезок виден из двух точек, лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти две точки и концы отрезка лежат на одной окружности.

3. Таким образом, точки $A$ , $C_1$ , $A_1$ и $C$ лежат на одной окружности с диаметром $AC$ . Опишем эту окружность вокруг четырехугольника $AC_1A_1C$ .

4. В полученной окружности углы $\angle AA_1C_1$ и $\angle ACC_1$ являются вписанными. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AC_1$ .

5. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle AA_1C_1 = \angle ACC_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ