Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть точка $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. По условию задачи $OH = 15$, $OK = 8$, а хорда $AB = 16$.

2) Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$, проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R = OA$:
$OA^2 = OH^2 + AH^2$
$OA^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$.
Отсюда радиус $R = \sqrt{289} = 17$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$. Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 17$. Высота $OK = 8$ является медианой, значит, $CK = KD$, и тогда $CD = 2 \cdot CK$.

5) Из прямоугольного треугольника $COK$ (угол $K = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдём отрезок $CK$:
$CK^2 = OC^2 - OK^2$
$CK^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$.
Следовательно, $CK = \sqrt{225} = 15$.

6) Найдём длину хорды $CD$:
$CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 15 = 30$.

Ответ: 30

Источник: ФИПИ