Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23Среднее
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 21 и CH = 8. Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 16, DC = 24, AC = 25.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает сто…
Окружность и круг
Задание №23
№23Среднее
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 32, BF = 24.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD…
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 7.
Многоугольники
Задание №23
№23Среднее
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.
Многоугольники
Задание №23
№23Сложное
Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD = 25.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 12, BF = 5.
Многоугольники
Задание №23
№23Лёгкое
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 6, AC = 24.
Треугольник
Задание №23
№23Лёгкое
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 9, CK = 15.
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 16$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 15 и 8.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть точка $O$ — центр данной окружности. Расстояние от центра окружности до хорды — это длина перпендикуляра, опущенного из центра на эту хорду. Проведём $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$ . По условию задачи $OH = 15$ , $OK = 8$ , а хорда $AB = 16$ .

2) Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA$ и $OB$ — радиусы окружности, то треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам:
$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R = OA$ :
$OA^2 = OH^2 + AH^2$
$OA^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$ .
Отсюда радиус $R = \sqrt{289} = 17$ .

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$ . Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 17$ . Высота $OK = 8$ является медианой, значит, $CK = KD$ , и тогда $CD = 2 \cdot CK$ .

5) Из прямоугольного треугольника $COK$ (угол $K = 90^\circ$ ) по теореме Пифагора найдём отрезок $CK$ :
$CK^2 = OC^2 - OK^2$
$CK^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$ .
Следовательно, $CK = \sqrt{225} = 15$ .

6) Найдём длину хорды $CD$ :
$CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 15 = 30$ .

Ответ: 30

Источник: ФИПИ