Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим таблицу и уравнение, основываясь на взаимосвязи пути, скорости и времени: $S = v \cdot t$.

1. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который едет медленнее). Тогда скорость первого велосипедиста, так как она на 14 км/ч больше, будет равна $x + 14$ км/ч. По условию задачи скорость должна быть положительной, поэтому $x > 0$.

2. Оба велосипедиста проехали одинаковое расстояние — 140 км. Выразим время, затраченное каждым из них на путь:
— Время второго велосипедиста: $t_2 = \frac{140}{x}$ часов.
— Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{140}{x + 14}$ часов.

3. Известно, что первый велосипедист прибыл к финишу на 5 часов раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на 5 часов. Составим уравнение:
$\frac{140}{x} - \frac{140}{x + 14} = 5$

4. Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения вычислений:
$\frac{28}{x} - \frac{28}{x + 14} = 1$

5. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 14)$:
$\frac{28(x + 14) - 28x}{x(x + 14)} = 1$
$\frac{28x + 392 - 28x}{x^2 + 14x} = 1$
$\frac{392}{x^2 + 14x} = 1$

6. Перейдем к квадратному уравнению:
$x^2 + 14x = 392$
$x^2 + 14x - 392 = 0$

7. Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-392) = 196 + 1568 = 1764$
$\sqrt{D} = \sqrt{1764} = 42$

8. Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-14 + 42}{2} = \frac{28}{2} = 14$
$x_2 = \frac{-14 - 42}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

9. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -28$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч.

Ответ: 14

Источник: ФИПИ