Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ — концентрация кислоты в первом растворе (в долях), а $y$ — концентрация кислоты во втором растворе (в долях). Тогда масса чистой кислоты в первом сосуде равна $48x$ кг, а во втором — $42y$ кг.

Шаг 1. Составим первое уравнение.
По условию, если слить оба раствора вместе, общая масса смеси составит $48 + 42 = 90$ кг. Концентрация этой смеси равна $42\%$, то есть $0,42$. Масса кислоты в смеси равна сумме масс кислот в исходных сосудах:
$48x + 42y = 0,42 \cdot 90$
$48x + 42y = 37,8$

Шаг 2. Составим второе уравнение.
Если слить равные массы растворов (пусть по $m$ кг каждого), то общая масса смеси будет $2m$ кг. Масса кислоты в такой смеси составит $m \cdot x + m \cdot y$. По условию концентрация этой смеси равна $40\%$, то есть $0,4$:
$mx + my = 0,4 \cdot (2m)$
Разделим обе части уравнения на $m$ (так как $m \neq 0$):
$x + y = 0,8$

Шаг 3. Решим систему уравнений.
Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 0,8 - y$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$48(0,8 - y) + 42y = 37,8$
Раскроем скобки:
$38,4 - 48y + 42y = 37,8$
Приведем подобные слагаемые:
$-6y = 37,8 - 38,4$
$-6y = -0,6$
$y = 0,1$

Шаг 4. Найдем массу кислоты во втором растворе.
Мы нашли концентрацию второго раствора $y = 0,1$ (или $10\%$). Чтобы найти массу кислоты во втором сосуде, нужно умножить его общую массу на концентрацию:
$42 \cdot 0,1 = 4,2$ (кг).

Ответ: 4,2

Источник: ФИПИ