Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности. По условию центр лежит на стороне $AC$, а окружность проходит через точку $C$. Значит, $OC$ — радиус окружности. Так как диаметр равен $6,4$, то радиус $R = OC = 6,4 : 2 = 3,2$.

2) Обозначим точку пересечения окружности с отрезком $AC$ (отличную от $C$) как точку $D$. Тогда $CD$ — диаметр окружности, $CD = 6,4$. Точка $O$ является серединой $CD$. Отрезок $AC$ состоит из отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + 6,4$.

3) По условию прямая $AB$ касается окружности в точке $B$. Воспользуемся теоремой о касательной и секущей: если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть.

4) В нашем случае $AB$ — касательная, а $AC$ — секущая. Внешняя часть секущей — это отрезок $AD$. Запишем формулу:
$AB^2 = AD \cdot AC$.

5) Подставим известные значения: $AB = 6$, а $AC = AD + CD = AD + 6,4$.
$6^2 = AD \cdot (AD + 6,4)$
$36 = AD^2 + 6,4 \cdot AD$.

6) Перенесем всё в одну сторону и решим квадратное уравнение относительно $AD$:
$AD^2 + 6,4 \cdot AD - 36 = 0$.
Для удобства умножим уравнение на 10:
$10AD^2 + 64AD - 360 = 0$.
Разделим на 2:
$5AD^2 + 32AD - 180 = 0$.
Находим дискриминант:
$D = 32^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-180) = 1024 + 3600 = 4624$.
$\sqrt{D} = \sqrt{4624} = 68$.

7) Находим корни уравнения:
$AD_1 = \frac{-32 + 68}{2 \cdot 5} = \frac{36}{10} = 3,6$.
$AD_2 = \frac{-32 - 68}{10} = -10$ (корень не подходит, так как длина отрезка не может быть отрицательной).

8) Теперь найдем искомую длину стороны $AC$:
$AC = AD + CD = 3,6 + 6,4 = 10$.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ