Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, $BC = a$ — верхнее основание, $AD = b$ — нижнее основание. Проведём через точку $E$ высоту трапеции $KH$, где точка $K$ лежит на основании $BC$ (или его продолжении), а точка $H$ — на основании $AD$ (или его продолжении).

2) Так как точка $E$ лежит на средней линии трапеции, она равноудалена от оснований $AD$ и $BC$. Это значит, что высоты треугольников $BEC$ и $AED$, опущенные из вершины $E$ на основания, равны между собой и составляют половину высоты трапеции: $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$, где $h_1$ — высота треугольника $BEC$, а $h_2$ — высота треугольника $AED$.

3) Вычислим площадь треугольника $BEC$: $S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{a \cdot h}{4}$.

4) Вычислим площадь треугольника $AED$: $S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{b \cdot h}{4}$.

5) Найдем сумму площадей этих треугольников: $S_{BEC} + S_{AED} = \frac{a \cdot h}{4} + \frac{b \cdot h}{4} = \frac{(a + b) \cdot h}{4}$.

6) Вспомним формулу площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$.

7) Сравним полученную сумму площадей с площадью трапеции: $\frac{(a + b) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a + b}{2} \cdot h \right) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$.

Таким образом, сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ действительно равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ