Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

На средней линии трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ выбрали произвольную точку $E$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B E C$ и $A E D$ равна половине площади трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$ , $BC = a$ — верхнее основание, $AD = b$ — нижнее основание. Проведём через точку $E$ высоту трапеции $KH$ , где точка $K$ лежит на основании $BC$ (или его продолжении), а точка $H$ — на основании $AD$ (или его продолжении).

2) Так как точка $E$ лежит на средней линии трапеции, она равноудалена от оснований $AD$ и $BC$ . Это значит, что высоты треугольников $BEC$ и $AED$ , опущенные из вершины $E$ на основания, равны между собой и составляют половину высоты трапеции: $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$ , где $h_1$ — высота треугольника $BEC$ , а $h_2$ — высота треугольника $AED$ .

3) Вычислим площадь треугольника $BEC$ : $S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{a \cdot h}{4}$ .

4) Вычислим площадь треугольника $AED$ : $S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{b \cdot h}{4}$ .

5) Найдем сумму площадей этих треугольников: $S_{BEC} + S_{AED} = \frac{a \cdot h}{4} + \frac{b \cdot h}{4} = \frac{(a + b) \cdot h}{4}$ .

6) Вспомним формулу площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

7) Сравним полученную сумму площадей с площадью трапеции: $\frac{(a + b) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a + b}{2} \cdot h \right) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$ .

Таким образом, сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ действительно равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ