Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

На средней линии трапеции $A B C D$ с основаниями $A D$ и $B C$ выбрали произвольную точку $E$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $B E C$ и $A E D$ равна половине площади трапеции.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$ , $BC = a$ — верхнее основание, $AD = b$ — нижнее основание. Проведём через точку $E$ высоту трапеции $KH$ , где точка $K$ лежит на основании $BC$ (или его продолжении), а точка $H$ — на основании $AD$ (или его продолжении).

2) Так как точка $E$ лежит на средней линии трапеции, она равноудалена от оснований $AD$ и $BC$ . Это значит, что высоты треугольников $BEC$ и $AED$ , опущенные из вершины $E$ на основания, равны между собой и составляют половину высоты трапеции: $h_1 = h_2 = \frac{h}{2}$ , где $h_1$ — высота треугольника $BEC$ , а $h_2$ — высота треугольника $AED$ .

3) Вычислим площадь треугольника $BEC$ : $S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{h}{2} = \frac{a \cdot h}{4}$ .

4) Вычислим площадь треугольника $AED$ : $S_{AED} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_2 = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{h}{2} = \frac{b \cdot h}{4}$ .

5) Найдем сумму площадей этих треугольников: $S_{BEC} + S_{AED} = \frac{a \cdot h}{4} + \frac{b \cdot h}{4} = \frac{(a + b) \cdot h}{4}$ .

6) Вспомним формулу площади трапеции: $S_{ABCD} = \frac{a + b}{2} \cdot h$ .

7) Сравним полученную сумму площадей с площадью трапеции: $\frac{(a + b) \cdot h}{4} = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{a + b}{2} \cdot h \right) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$ .

Таким образом, сумма площадей треугольников $BEC$ и $AED$ действительно равна половине площади трапеции, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ