Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $R_1$ — радиус окружности с центром в точке $I$, а $R_2$ — радиус окружности с центром в точке $J$. Проведём общую внутреннюю касательную к этим окружностям. Пусть точка $K$ — точка пересечения этой касательной с отрезком $IJ$, соединяющим центры окружностей.

2. Обозначим точки касания: пусть касательная касается первой окружности в точке $A$, а второй — в точке $B$. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $IA \perp AB$ и $JB \perp AB$.

3. Рассмотрим треугольники $IAK$ и $JBK$. Эти треугольники являются прямоугольными, так как $\angle IAK = \angle JBK = 90^\circ$. Также заметим, что углы $IKA$ и $JKB$ равны как вертикальные.

4. Из равенства двух углов следует, что треугольники $IAK$ и $JBK$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам): $\triangle IAK \sim \triangle JBK$.

5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{IA}{JB} = \frac{IK}{JK}$.

6. По условию задачи точка $K$ делит отрезок $IJ$ в отношении $m : n$, то есть $\frac{IK}{JK} = \frac{m}{n}$. Подставляя это в наше равенство и учитывая, что $IA = R_1$ и $JB = R_2$, получаем:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n}$.

7. Нам нужно доказать отношение диаметров. Обозначим диаметры как $D_1$ и $D_2$. Так как диаметр равен двум радиусам ($D = 2R$), то:
$\frac{D_1}{D_2} = \frac{2R_1}{2R_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n}$.

Таким образом, отношение диаметров окружностей равно $m : n$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ