Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
- Задание №24№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек, и ни одна
из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.
Решение
Решение.
1. Пусть R1 — радиус окружности с центром в точке I, а R2 — радиус окружности с центром в точке J. Проведём общую внутреннюю касательную к этим окружностям. Пусть точка K — точка пересечения этой касательной с отрезком IJ, соединяющим центры окружностей.
2. Обозначим точки касания: пусть касательная касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. По свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, IA⊥AB и JB⊥AB.
3. Рассмотрим треугольники IAK и JBK. Эти треугольники являются прямоугольными, так как ∠IAK=∠JBK=90∘. Также заметим, что углы IKA и JKB равны как вертикальные.
4. Из равенства двух углов следует, что треугольники IAK и JBK подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам): △IAK∼△JBK.
5. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
JBIA=JKIK.
6. По условию задачи точка K делит отрезок IJ в отношении m:n, то есть JKIK=nm. Подставляя это в наше равенство и учитывая, что IA=R1 и JB=R2, получаем:
R2R1=nm.
7. Нам нужно доказать отношение диаметров. Обозначим диаметры как D1 и D2. Так как диаметр равен двум радиусам (D=2R), то:
D2D1=2R22R1=R2R1=nm.
Таким образом, отношение диаметров окружностей равно m:n, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Источник: ФИПИ