Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ км/ч — скорость второго велосипедиста (который едет медленнее). Тогда скорость первого велосипедиста равна $x + 15$ км/ч.

Оба велосипедиста преодолевают дистанцию в $100$ км. Вспомним формулу времени: $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

1) Время, затраченное вторым велосипедистом: $t_2 = \frac{100}{x}$ (часов).
2) Время, затраченное первым велосипедистом: $t_1 = \frac{100}{x + 15}$ (часов).

По условию задачи первый велосипедист прибыл к финишу на $6$ часов раньше второго. Это значит, что время второго велосипедиста больше времени первого на $6$ часов. Составим уравнение:
$\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 15} = 6$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x + 15)$:
$\frac{100(x + 15) - 100x}{x(x + 15)} = 6$
$\frac{100x + 1500 - 100x}{x^2 + 15x} = 6$
$\frac{1500}{x^2 + 15x} = 6$

Разделим обе части уравнения на $6$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{250}{x^2 + 15x} = 1$
Отсюда получаем квадратное уравнение:
$x^2 + 15x = 250$
$x^2 + 15x - 250 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-250) = 225 + 1000 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-15 + 35}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-15 - 35}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -25$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость второго велосипедиста равна $10$ км/ч.

Ответ: 10

Источник: ФИПИ