Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение имеет вид $x^{4} = (2x - 15)^{2}$. Заметим, что левую часть уравнения можно представить как квадрат выражения $x^{2}$. Тогда уравнение примет вид:
$(x^{2})^{2} = (2x - 15)^{2}$

Вспомним свойство: если квадраты двух выражений равны ($a^{2} = b^{2}$), то либо сами выражения равны, либо они противоположны по знаку ($a = b$ или $a = -b$). Применим это свойство к нашему уравнению:

Случай 1:
$x^{2} = 2x - 15$
Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^{2} - 2x + 15 = 0$
Найдём дискриминант по формуле $D = b^{2} - 4ac$:
$D = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$
Так как дискриминант меньше нуля ($D < 0$), в этом случае действительных корней нет.

Случай 2:
$x^{2} = -(2x - 15)$
Раскроем скобки:
$x^{2} = -2x + 15$
Перенесём всё в левую часть:
$x^{2} + 2x - 15 = 0$
Найдём дискриминант:
$D = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$
Дискриминант положительный, значит, уравнение имеет два корня. Вычислим их:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$x = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 8}{2}$
$x_{1} = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_{2} = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, корнями исходного уравнения являются числа $-5$ и $3$.

Ответ: -5; 3

Источник: ФИПИ