Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^{2} + y = 7 \\ 2x^{2} - y = 5 \end{cases}$

Шаг 1. Выбор метода решения.
Заметим, что в первом уравнении переменная $y$ входит с коэффициентом $1$, а во втором — с коэффициентом $-1$. В таком случае удобнее всего воспользоваться методом сложения. При сложении левых и правых частей уравнений переменная $y$ взаимно уничтожится.

Шаг 2. Складываем уравнения.
$(x^{2} + y) + (2x^{2} - y) = 7 + 5$
$x^{2} + 2x^{2} + y - y = 12$
$3x^{2} = 12$

Шаг 3. Находим значения $x$.
Разделим обе части уравнения на $3$:
$x^{2} = 4$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 2$
$x_2 = -2$

Шаг 4. Находим значения $y$.
Для нахождения $y$ подставим полученные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмём первое уравнение: $x^{2} + y = 7$. Выразим из него $y$:
$y = 7 - x^{2}$

1) Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 7 - 2^{2} = 7 - 4 = 3$.
2) Если $x_2 = -2$, то $y_2 = 7 - (-2)^{2} = 7 - 4 = 3$.

Шаг 5. Записываем ответ.
Мы получили две пары чисел $(x; y)$, которые являются решениями системы: $(2; 3)$ и $(-2; 3)$.

Ответ: (2; 3), (-2; 3)

Источник: ФИПИ