Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим углы $A$ и $B$ трапеции $ABCD$. Так как $AD$ параллельна $BC$ (основания трапеции), то углы $A$ и $B$ являются односторонними при параллельных прямых и секущей $AB$. Сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2) По условию $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$. Значит, $\angle FAB = \frac{1}{2} \angle A$ и $\angle FBA = \frac{1}{2} \angle B$.

3) Рассмотрим треугольник $ABF$. Сумма его углов $\angle FAB$ и $\angle FBA$ равна:
$\angle FAB + \angle FBA = \frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

4) Так как сумма двух углов треугольника $ABF$ равна $90^\circ$, то третий угол $\angle AFB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

5) В прямоугольном треугольнике $ABF$ сторона $AB$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AF^2 + BF^2$.
Подставим известные значения:
$AB^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625$.

6) Находим длину $AB$:
$AB = \sqrt{625} = 25$.

Ответ: 25

Источник: ФИПИ