Задание №23 — Геометрия

#48181Задание №23ФИПИ

Треугольник

Отрезки $A B$ и $D C$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $M$ . Найдите $M C$ , если $A B = 13$ , $D C = 65$ , $A C = 42$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $AMB$ и $CMD$ . По условию прямые $AB$ и $DC$ параллельны. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AC$ образуются накрест лежащие углы: $\angle MAB = \angle MCD$ . Аналогично, при пересечении прямых секущей $BD$ образуются накрест лежащие углы: $\angle MBA = \angle MDC$ .

2) Так как два угла треугольника $AMB$ соответственно равны двум углам треугольника $CMD$ , то эти треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников ( $\triangle AMB \sim \triangle CMD$ ).

3) Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AB}{CD} = \frac{AM}{MC}$ .

4) Пусть длина отрезка $MC$ равна $x$ . Так как по условию вся длина отрезка $AC = 42$ , то длина отрезка $AM$ может быть выражена как $AM = AC - MC = 42 - x$ .

5) Подставим известные значения в пропорцию:
$\frac{13}{65} = \frac{42 - x}{x}$ .

6) Сократим дробь в левой части уравнения: $\frac{13}{65} = \frac{1}{5}$ .
Получаем уравнение: $\frac{1}{5} = \frac{42 - x}{x}$ .

7) Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$1 \cdot x = 5 \cdot (42 - x)$
$x = 210 - 5x$
$x + 5x = 210$
$6x = 210$
$x = 210 : 6$
$x = 35$ .

Таким образом, $MC = 35$ .

Ответ: 35

Источник: ФИПИ