Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x + 4)$. Для его решения удобно воспользоваться методом введения новой переменной.

1. Пусть $(x + 4)^{2} = t$.
Так как квадрат любого числа не может быть отрицательным, сразу отметим ограничение для новой переменной: $t \geq 0$.

2. Перепишем исходное уравнение, используя замену. Заметим, что $(x + 4)^{4} = ((x + 4)^{2})^{2} = t^{2}$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^{2} - 6t - 7 = 0$

3. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета.
Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней $t_{1} + t_{2} = 6$, а произведение $t_{1} \cdot t_{2} = -7$.
Методом подбора находим корни:
$t_{1} = 7$
$t_{2} = -1$

4. Проверим корни на соответствие условию $t \geq 0$:
Значение $t_{2} = -1$ не подходит, так как квадрат числа не может быть равен отрицательному числу.
Следовательно, рассматриваем только $t = 7$.

5. Вернемся к обратной замене:
$(x + 4)^{2} = 7$

6. Решим это уравнение, извлекая квадратный корень из обеих частей:
$x + 4 = \sqrt{7}$ или $x + 4 = -\sqrt{7}$

7. Выразим $x$ в обоих случаях:
1) $x = -4 + \sqrt{7}$
2) $x = -4 - \sqrt{7}$

Ответ: $-4 - \sqrt{7}; -4 + \sqrt{7}$

Источник: ФИПИ