Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Прямая, параллельная основаниям трапеции $A B C D$ , пересекает её боковые стороны $A B$ и $C D$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину
отрезка $E F$ , если $A D = 45$ , $B C = 20$ , $C F : D F = 4 : 1$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим трапецию $ABCD$ , где $AD = 45$ и $BC = 20$ — основания. По условию прямая $EF$ параллельна основаниям, то есть $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$ . Точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно.

2) Нам дано отношение отрезков на боковой стороне: $CF : DF = 4 : 1$ . Обозначим длину отрезка $DF$ через $x$ , тогда $CF = 4x$ . Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 4x + x = 5x$ .

3) Для решения задачи проведём дополнительное построение: проведём диагональ $AC$ . Пусть точка $K$ — точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $EF$ .

4) Рассмотрим треугольник $ADC$ . Так как $KF \parallel AD$ , то треугольник $KFC$ подобен треугольнику $ADC$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CKF = \angle CAD$ как соответственные при параллельных прямых). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{KF}{AD} = \frac{CF}{CD}$ . Подставим известные значения: $\frac{KF}{45} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$ . Отсюда находим $KF$ : $KF = \frac{4 \cdot 45}{5} = 4 \cdot 9 = 36$ .

5) Теперь рассмотрим треугольник $ABC$ . Так как $EK \parallel BC$ , то треугольник $AEK$ подобен треугольнику $ABC$ . По теореме Фалеса (или из подобия), отношение отрезков на стороне $CD$ равно отношению отрезков на стороне $AB$ , то есть $BE : AE = CF : DF = 4 : 1$ . Тогда $AE : AB = DF : CD = 1 : 5$ . Из подобия треугольников $AEK$ и $ABC$ : $\frac{EK}{BC} = \frac{AE}{AB}$ . Подставим значения: $\frac{EK}{20} = \frac{1}{5}$ . Отсюда находим $EK$ : $EK = \frac{20 \cdot 1}{5} = 4$ .

6) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$ : $EF = EK + KF = 4 + 36 = 40$ .

Ответ: 40

Источник: ФИПИ