Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим трапецию $ABCD$, где $AD = 45$ и $BC = 20$ — основания. По условию прямая $EF$ параллельна основаниям, то есть $EF \parallel AD$ и $EF \parallel BC$. Точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно.

2) Нам дано отношение отрезков на боковой стороне: $CF : DF = 4 : 1$. Обозначим длину отрезка $DF$ через $x$, тогда $CF = 4x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 4x + x = 5x$.

3) Для решения задачи проведём дополнительное построение: проведём диагональ $AC$. Пусть точка $K$ — точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $EF$.

4) Рассмотрим треугольник $ADC$. Так как $KF \parallel AD$, то треугольник $KFC$ подобен треугольнику $ADC$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle CKF = \angle CAD$ как соответственные при параллельных прямых). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{KF}{AD} = \frac{CF}{CD}$. Подставим известные значения: $\frac{KF}{45} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. Отсюда находим $KF$: $KF = \frac{4 \cdot 45}{5} = 4 \cdot 9 = 36$.

5) Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $EK \parallel BC$, то треугольник $AEK$ подобен треугольнику $ABC$. По теореме Фалеса (или из подобия), отношение отрезков на стороне $CD$ равно отношению отрезков на стороне $AB$, то есть $BE : AE = CF : DF = 4 : 1$. Тогда $AE : AB = DF : CD = 1 : 5$. Из подобия треугольников $AEK$ и $ABC$: $\frac{EK}{BC} = \frac{AE}{AB}$. Подставим значения: $\frac{EK}{20} = \frac{1}{5}$. Отсюда находим $EK$: $EK = \frac{20 \cdot 1}{5} = 4$.

6) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 4 + 36 = 40$.

Ответ: 40

Источник: ФИПИ