Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). По условию скорость течения реки равна $5$ км/ч. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 5)$ км/ч, а скорость лодки против течения — $(x - 5)$ км/ч.

1) Сначала найдём время, которое плот находился в пути. Плот движется со скоростью течения реки, так как у него нет собственного мотора. Значит, его скорость равна $5$ км/ч. Плот проплыл $50$ км.
Время движения плота: $t_{\text{плота}} = \frac{50}{5} = 10$ часов.

2) Теперь определим время, которое находилась в движении лодка. По условию лодка вышла из пункта А через час после плота и вернулась в А в тот же момент, когда плот проплыл свои $50$ км.
Значит, лодка была в пути на $1$ час меньше плота: $t_{\text{лодки}} = 10 - 1 = 9$ часов.

3) Составим уравнение, основываясь на времени движения лодки. Лодка прошла путь от А до В ($108$ км) по течению и путь от В до А ($108$ км) против течения.
Время в пути по течению: $\frac{108}{x + 5}$.
Время в пути против течения: $\frac{108}{x - 5}$.
Общее время движения лодки равно $9$ часам:
$\frac{108}{x + 5} + \frac{108}{x - 5} = 9$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $9$, чтобы упростить вычисления:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{12(x - 5) + 12(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$\frac{12x - 60 + 12x + 60}{x^2 - 25} = 1$
$\frac{24x}{x^2 - 25} = 1$
$x^2 - 25 = 24x$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

5) Решим квадратное уравнение через дискриминант или по теореме Виета:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$
$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как скорость лодки не может быть отрицательной, нам подходит только корень $x = 25$. Проверим условие $x > 5$, чтобы лодка могла плыть против течения: $25 > 5$, условие выполняется.

Ответ: 25 км/ч

Источник: ФИПИ