Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость моторной лодки (скорость в неподвижной воде). Тогда скорость лодки по течению реки равна $x + 5$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $x - 5$ км/ч. По условию задачи $x > 5$, так как лодка смогла вернуться обратно против течения.

1) Сначала найдём время, которое плот находился в движении. Плот движется со скоростью течения реки, то есть его скорость равна $5$ км/ч. Известно, что к моменту возвращения лодки в пункт А плот проплыл $15$ км.
Время движения плота: $t_{плота} = \frac{15}{5} = 3$ (ч).

2) Теперь определим время, которое затратила на движение лодка. По условию лодка вышла из пункта А через час после плота и вернулась в А в тот же момент, когда плот закончил своё движение.
Значит, лодка была в пути на $1$ час меньше плота: $t_{лодки} = 3 - 1 = 2$ (ч).

3) Составим уравнение, исходя из времени движения лодки. Расстояние между пристанями равно $24$ км. Лодка прошла $24$ км по течению и $24$ км против течения.
Время в пути по течению: $\frac{24}{x + 5}$.
Время в пути против течения: $\frac{24}{x - 5}$.
Общее время движения лодки равно $2$ часам:
$\frac{24}{x + 5} + \frac{24}{x - 5} = 2$

4) Решим полученное уравнение. Разделим обе части уравнения на $2$:
$\frac{12}{x + 5} + \frac{12}{x - 5} = 1$
Приведём дроби к общему знаменателю $(x + 5)(x - 5)$:
$\frac{12(x - 5) + 12(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)} = 1$
$12x - 60 + 12x + 60 = x^2 - 25$
$24x = x^2 - 25$
$x^2 - 24x - 25 = 0$

5) Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта или по теореме Виета:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 = 26^2$
$x_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$x_2 = \frac{24 - 26}{2} = -1$
Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x = -1$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, собственная скорость лодки равна $25$ км/ч.

Ответ: 25 км/ч.

Источник: ФИПИ