Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Для решения данного уравнения воспользуемся методом группировки. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль:

$x^{3} + 6x^{2} - 9x - 54 = 0$

Теперь сгруппируем слагаемые по парам: первое со вторым и третье с четвёртым:

$(x^{3} + 6x^{2}) + (-9x - 54) = 0$

Из первой скобки вынесем общий множитель $x^{2}$, а из второй — общий множитель $-9$:

$x^{2}(x + 6) - 9(x + 6) = 0$

Мы видим, что в обоих слагаемых появился общий множитель $(x + 6)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 6)(x^{2} - 9) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 6 = 0$
Отсюда $x_{1} = -6$

2) $x^{2} - 9 = 0$
Это уравнение можно решить, перенеся девятку в правую часть: $x^{2} = 9$.
Корнями этого уравнения являются числа, квадрат которых равен $9$:
$x_{2} = 3$
$x_{3} = -3$

Таким образом, уравнение имеет три корня.

Ответ: -6; -3; 3

Источник: ФИПИ