Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для нахождения средней скорости автомобиля на всём пути воспользуемся основной формулой: $v_{ср} = \frac{S_{весь}}{t_{все}}$, где $S_{весь}$ — всё пройденное расстояние, а $t_{все}$ — общее время в пути.

1. Пусть весь путь автомобиля равен $S$. Тогда первая половина пути равна $\frac{S}{2}$, и вторая половина пути также равна $\frac{S}{2}$.

2. Найдём время, затраченное на первую половину пути. Зная, что скорость на этом участке составляла $v_1 = 54$ км/ч, получаем:
$t_1 = \frac{S/2}{v_1} = \frac{S}{2 \cdot 54} = \frac{S}{108}$ (ч).

3. Найдём время, затраченное на вторую половину пути. Скорость на этом участке составляла $v_2 = 90$ км/ч:
$t_2 = \frac{S/2}{v_2} = \frac{S}{2 \cdot 90} = \frac{S}{180}$ (ч).

4. Вычислим общее время в пути $t_{все}$, сложив время на первом и втором участках. Для этого приведём дроби к общему знаменателю (наименьшее общее кратное 108 и 180 равно 540):
$t_{все} = t_1 + t_2 = \frac{S}{108} + \frac{S}{180} = \frac{5S}{540} + \frac{3S}{540} = \frac{8S}{540} = \frac{2S}{135}$ (ч).

5. Теперь найдём среднюю скорость, разделив весь путь $S$ на общее время $t_{все}$:
$v_{ср} = \frac{S}{t_{все}} = S : \frac{2S}{135} = S \cdot \frac{135}{2S}$.
Заметим, что $S$ сокращается, и средняя скорость не зависит от длины пути:
$v_{ср} = \frac{135}{2} = 67,5$ (км/ч).

Ответ: 67,5

Источник: ФИПИ