Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$, значит, она делит угол $A$ на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD$.

2) Стороны $BC$ и $AD$ параллелограмма лежат на параллельных прямых. При пересечении этих параллельных прямых секущей $AK$ образуются накрест лежащие углы. Следовательно, $\angle KAD = \angle BKA$.

3) Из пунктов 1 и 2 получаем, что в треугольнике $ABK$ два угла равны: $\angle BAK = \angle BKA$ (так как оба они равны $\angle KAD$).

4) Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник — равнобедренный. Значит, сторона $AB = BK$. По условию $BK = 5$, следовательно, $AB = 5$.

5) Найдем длину стороны $BC$. Точка $K$ лежит на этой стороне и делит её на отрезки $BK = 5$ и $CK = 14$. Тогда $BC = BK + CK = 5 + 14 = 19$.

6) В параллелограмме противоположные стороны равны: $AB = CD = 5$ и $BC = AD = 19$.

7) Периметр параллелограмма $P$ вычисляется как удвоенная сумма его смежных сторон:
$P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (5 + 19) = 2 \cdot 24 = 48$.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ