Задание №23 — Геометрия

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали перпендикулярны ($AC \perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $AC = 64$. Тогда $AO = OC = 64 : 2 = 32$.

1) Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$. По условию задачи расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 16, значит, $OH = 16$.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). В этом треугольнике $AO$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом.
Заметим, что $OH = 16$, а $AO = 32$. То есть катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $AO$:
$\frac{OH}{AO} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
По свойству прямоугольного треугольника, если катет в два раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$. Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$.

3) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$:
$\angle BAD = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

4) Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$. Найдём второй угол ромба (угол $B$):
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.

Ответ: 60^\circ; 120^\circ.

Источник: ФИПИ