Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $ABCD$ — данный ромб, $O$ — точка пересечения его диагоналей. По свойствам ромба диагонали перпендикулярны ( $AC \perp BD$ ) и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагональ $AC = 64$ . Тогда $AO = OC = 64 : 2 = 32$ .

1) Проведём из точки $O$ перпендикуляр $OH$ к стороне $AD$ . По условию задачи расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны равно 16, значит, $OH = 16$ .

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). В этом треугольнике $AO$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом.
Заметим, что $OH = 16$ , а $AO = 32$ . То есть катет $OH$ в два раза меньше гипотенузы $AO$ :
$\frac{OH}{AO} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ .
По свойству прямоугольного треугольника, если катет в два раза меньше гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен $30^\circ$ . Следовательно, $\angle OAH = 30^\circ$ .

3) Так как диагонали ромба являются биссектрисами его углов, то угол $A$ ромба в два раза больше угла $OAH$ :
$\angle BAD = 2 \cdot \angle OAH = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$ .

4) Сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$ . Найдём второй угол ромба (угол $B$ ):
$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ .
Противоположные углы ромба равны, значит, углы ромба равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$ .

Ответ: 60^\circ; 120^\circ.

Источник: ФИПИ