Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города А в город В. Тогда, согласно условию задачи, скорость на обратном пути из В в А составила $x + 5$ км/ч.

Расстояние между городами равно 180 км. Мы можем выразить время, затраченное на каждый из путей:
1) Время на путь из А в В: $t_1 = \frac{180}{x}$ (ч).
2) Время, проведенное в движении на обратном пути: $t_{движ} = \frac{180}{x + 5}$ (ч).

По условию задачи, на обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа, и общее время на обратный путь (время движения плюс время остановки) оказалось равно времени $t_1$. Составим уравнение:
$\frac{180}{x + 5} + 3 = \frac{180}{x}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} - 3 = 0$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения вычислений:
$\frac{60}{x} - \frac{60}{x + 5} - 1 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 5)$, учитывая, что $x > 0$:
$\frac{60(x + 5) - 60x - x(x + 5)}{x(x + 5)} = 0$
$60x + 300 - 60x - x^2 - 5x = 0$
$-x^2 - 5x + 300 = 0$
Умножим на $-1$:
$x^2 + 5x - 300 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-300) = 25 + 1200 = 1225$
$\sqrt{D} = \sqrt{1225} = 35$

Находим корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 35}{2} = \frac{30}{2} = 15$
$x_2 = \frac{-5 - 35}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x = -20$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста на пути из А в В равна 15 км/ч.

Ответ: 15

Источник: ФИПИ