Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Пусть $O$ — центр окружности, лежащий на стороне $AC$, а $R$ — радиус этой окружности. Так как окружность проходит через точку $C$, то отрезок $OC = R$. По условию точка $O$ лежит на $AC$, значит, отрезок $AO = AC - OC = 5 - R$.

2. Прямая $AB$ касается окружности в точке $B$. По свойству касательной, радиус $OB$, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник $ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABO = 90^\circ$).

3. В прямоугольном треугольнике $ABO$ катет $AB = 3$, катет $OB = R$, а гипотенуза $AO = 5 - R$. Применим теорему Пифагора:
$AB^2 + OB^2 = AO^2$

4. Подставим известные значения в уравнение:
$3^2 + R^2 = (5 - R)^2$
$9 + R^2 = 25 - 10R + R^2$

5. Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения и решим его относительно $R$:
$9 = 25 - 10R$
$10R = 25 - 9$
$10R = 16$
$R = 1,6$

6. Нам необходимо найти диаметр окружности. Диаметр $D$ в два раза больше радиуса:
$D = 2R = 2 \cdot 1,6 = 3,2$

Ответ: 3,2

Источник: ФИПИ