Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $BC$ — верхнее основание трапеции, $AD$ — нижнее основание. По условию $BC = 30$, $AD = 50$. Точки $E$ и $F$ лежат на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно, причём прямая $EF$ параллельна основаниям.

2) Рассмотрим отношение отрезков на боковой стороне $CD$. Дано, что $CF : DF = 7 : 3$. Введём коэффициент пропорциональности $x$, тогда $CF = 7x$, а $DF = 3x$. Следовательно, вся боковая сторона $CD = CF + DF = 7x + 3x = 10x$.

3) Для решения проведём дополнительное построение: проведём диагональ $AC$. Пусть точка $K$ — точка пересечения диагонали $AC$ и отрезка $EF$.

4) Рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $KF$ параллелен основанию $AD$ (так как $EF \parallel AD$). Значит, треугольник $KFC$ подобен треугольнику $ADC$ по двум углам (угол $C$ общий, $\angle KFC = \angle ADC$ как соответственные при параллельных прямых). Из подобия следует отношение сторон: $\frac{KF}{AD} = \frac{CF}{CD}$. Подставим известные значения: $\frac{KF}{50} = \frac{7x}{10x} = \frac{7}{10}$. Отсюда $KF = \frac{50 \cdot 7}{10} = 35$.

5) Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $EK$ параллелен основанию $BC$. По теореме Фалеса (или из подобия треугольников), так как $EF \parallel AD \parallel BC$, отношение отрезков на стороне $AB$ будет таким же, как на стороне $CD$. То есть $AE : EB = DF : FC = 3 : 7$. Треугольник $AEK$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ общий, $\angle AEK = \angle ABC$ как соответственные). Из подобия следует: $\frac{EK}{BC} = \frac{AE}{AB}$. Так как $AE = 3y$ и $EB = 7y$, то $AB = 10y$. $\frac{EK}{30} = \frac{3y}{10y} = \frac{3}{10}$. Отсюда $EK = \frac{30 \cdot 3}{10} = 9$.

6) Длина искомого отрезка $EF$ складывается из длин отрезков $EK$ и $KF$: $EF = EK + KF = 9 + 35 = 44$.

Ответ: 44

Источник: ФИПИ