Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что углы $A A_{1} B_{1}$ и $A B B_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . По условию $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, значит, углы $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle BB_1C = 90^\circ$ . Из этого следует, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$ , так как из этих точек отрезок $AB$ виден под прямым углом.

2. Однако для решения данной задачи удобнее рассмотреть четырехугольник $ABA_1B_1$ . Заметим, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ , и при этом $\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$ .

3. Существует геометрический признак: если отрезок ( $AB$ ) виден из двух точек ( $A_1$ и $B_1$ ), лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти четыре точки ( $A, B, A_1, B_1$ ) лежат на одной окружности.

4. Таким образом, около четырехугольника $ABA_1B_1$ можно описать окружность. В этой окружности углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ являются вписанными.

5. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB_1$ . По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

6. Следовательно, $\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ