Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что углы $A A_{1} B_{1}$ и $A B B_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . По условию $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, значит, углы $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle BB_1C = 90^\circ$ . Из этого следует, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$ , так как из этих точек отрезок $AB$ виден под прямым углом.

2. Однако для решения данной задачи удобнее рассмотреть четырехугольник $ABA_1B_1$ . Заметим, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ , и при этом $\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$ .

3. Существует геометрический признак: если отрезок ( $AB$ ) виден из двух точек ( $A_1$ и $B_1$ ), лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти четыре точки ( $A, B, A_1, B_1$ ) лежат на одной окружности.

4. Таким образом, около четырехугольника $ABA_1B_1$ можно описать окружность. В этой окружности углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ являются вписанными.

5. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB_1$ . По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

6. Следовательно, $\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ