Задание №24 — Геометрия

#48198Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $A A_{1}$ и $B B_{1}$ . Докажите, что углы $A A_{1} B_{1}$ и $A B B_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольники $AA_1C$ и $BB_1C$ . По условию $AA_1$ и $BB_1$ — высоты, значит, углы $\angle AA_1C = 90^\circ$ и $\angle BB_1C = 90^\circ$ . Из этого следует, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат на окружности с диаметром $AB$ , так как из этих точек отрезок $AB$ виден под прямым углом.

2. Однако для решения данной задачи удобнее рассмотреть четырехугольник $ABA_1B_1$ . Заметим, что точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой $AB$ , и при этом $\angle AA_1B = \angle AB_1B = 90^\circ$ .

3. Существует геометрический признак: если отрезок ( $AB$ ) виден из двух точек ( $A_1$ и $B_1$ ), лежащих по одну сторону от него, под равными углами, то эти четыре точки ( $A, B, A_1, B_1$ ) лежат на одной окружности.

4. Таким образом, около четырехугольника $ABA_1B_1$ можно описать окружность. В этой окружности углы $\angle AA_1B_1$ и $\angle ABB_1$ являются вписанными.

5. Оба этих угла опираются на одну и ту же дугу $AB_1$ . По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

6. Следовательно, $\angle AA_1B_1 = \angle ABB_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ