Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 7x^2 - 5x = y \\ 7x - 5 = y \end{cases}$

Шаг 1. Приравнивание выражений.
Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Значит, мы можем приравнять эти части друг к другу:
$7x^2 - 5x = 7x - 5$

Шаг 2. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе знаки слагаемых меняются на противоположные:
$7x^2 - 5x - 7x + 5 = 0$
Приведём подобные слагаемые:
$7x^2 - 12x + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4$
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4} = 2$

Найдём корни $x$:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 2}{2 \cdot 7} = \frac{14}{14} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 2}{2 \cdot 7} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$

Шаг 3. Нахождение соответствующих значений $y$.
Для каждого найденного $x$ вычислим $y$, подставив значение во второе (более простое) уравнение системы $y = 7x - 5$:

1) Если $x_1 = 1$, то:
$y_1 = 7 \cdot 1 - 5 = 7 - 5 = 2$

2) Если $x_2 = \frac{5}{7}$, то:
$y_2 = 7 \cdot \frac{5}{7} - 5 = 5 - 5 = 0$

Шаг 4. Запись ответа.
Решением системы являются пары чисел $(x; y)$. В нашем случае это $(1; 2)$ и $(\frac{5}{7}; 0)$.

Ответ: $(1; 2); (\frac{5}{7}; 0)$

Источник: ФИПИ