Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Дана система уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 - 5x = y \\ 8x - 10 = y \end{cases}$

1. Заметим, что в обоих уравнениях левые части равны одной и той же переменной $y$. Это значит, что мы можем приравнять эти левые части друг к другу. Составим уравнение относительно переменной $x$:
$4x^2 - 5x = 8x - 10$

2. Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы справа остался ноль. При переносе не забываем менять знаки слагаемых на противоположные:
$4x^2 - 5x - 8x + 10 = 0$

3. Приведём подобные слагаемые:
$4x^2 - 13x + 10 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант $D$. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
Здесь $a = 4$, $b = -13$, $c = 10$.
$D = (-13)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 10 = 169 - 160 = 9$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Вычислим корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$.

5. Найдём значения $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{13 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$;
$x_2 = \frac{13 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{10}{8} = 1,25$.

6. Теперь для каждого найденного значения $x$ вычислим соответствующее значение $y$. Удобнее всего подставить $x$ во второе уравнение системы $y = 8x - 10$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 8 \cdot 2 - 10 = 16 - 10 = 6$.
Если $x_2 = 1,25$, то $y_2 = 8 \cdot 1,25 - 10 = 10 - 10 = 0$.

7. Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(2; 6)$ и $(1,25; 0)$.

Ответ: (2; 6), (1,25; 0)

Источник: ФИПИ