Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий
- Задание №24№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
- Задание №24№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
- Задание №24№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Окружности с центрами в точках P и Q пересекаются в точках K и L, причём точки P и Q лежат по одну сторону от прямой KL. Докажите,
что прямые PQ и KL перпендикулярны.
Решение
Решение.
1. Рассмотрим треугольник KPL. Точки K и L лежат на окружности с центром в точке P, следовательно, отрезки PK и PL являются радиусами этой окружности. Значит, PK=PL, и треугольник KPL — равнобедренный с основанием KL.
2. Аналогично рассмотрим треугольник KQL. Точки K и L лежат на окружности с центром в точке Q, поэтому QK и QL — радиусы этой окружности. Значит, QK=QL, и треугольник KQL — равнобедренный с основанием KL.
3. Проведём прямую PQ. Рассмотрим треугольники PKQ и PLQ. В них:
— PK=PL (как радиусы первой окружности);
— QK=QL (как радиусы второй окружности);
— сторона PQ — общая.
Следовательно, треугольники PKQ и PLQ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
4. Из равенства треугольников PKQ и PLQ следует равенство соответствующих углов: ∠KPQ=∠LPQ. Это означает, что луч PQ является биссектрисой угла KPL.
5. В равнобедренном треугольнике KPL биссектриса PQ, проведённая к основанию KL, также является его высотой и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
6. Так как PQ содержит высоту треугольника KPL, проведённую к стороне KL, то прямые PQ и KL перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.
Источник: ФИПИ