Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$ , причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $K L$ . Докажите,
что прямые $P Q$ и $K L$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $KPL$ . Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром в точке $P$ , следовательно, отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности. Значит, $PK = PL$ , и треугольник $KPL$ — равнобедренный с основанием $KL$ .

2. Аналогично рассмотрим треугольник $KQL$ . Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром в точке $Q$ , поэтому $QK$ и $QL$ — радиусы этой окружности. Значит, $QK = QL$ , и треугольник $KQL$ — равнобедренный с основанием $KL$ .

3. Проведём прямую $PQ$ . Рассмотрим треугольники $PKQ$ и $PLQ$ . В них:
— $PK = PL$ (как радиусы первой окружности);
— $QK = QL$ (как радиусы второй окружности);
— сторона $PQ$ — общая.
Следовательно, треугольники $PKQ$ и $PLQ$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников $PKQ$ и $PLQ$ следует равенство соответствующих углов: $\angle KPQ = \angle LPQ$ . Это означает, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPL$ .

5. В равнобедренном треугольнике $KPL$ биссектриса $PQ$ , проведённая к основанию $KL$ , также является его высотой и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).

6. Так как $PQ$ содержит высоту треугольника $KPL$ , проведённую к стороне $KL$ , то прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ