Задание №24 — Геометрия

#48205Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$ , причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $K L$ . Докажите,
что прямые $P Q$ и $K L$ перпендикулярны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим треугольник $KPL$ . Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром в точке $P$ , следовательно, отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности. Значит, $PK = PL$ , и треугольник $KPL$ — равнобедренный с основанием $KL$ .

2. Аналогично рассмотрим треугольник $KQL$ . Точки $K$ и $L$ лежат на окружности с центром в точке $Q$ , поэтому $QK$ и $QL$ — радиусы этой окружности. Значит, $QK = QL$ , и треугольник $KQL$ — равнобедренный с основанием $KL$ .

3. Проведём прямую $PQ$ . Рассмотрим треугольники $PKQ$ и $PLQ$ . В них:
— $PK = PL$ (как радиусы первой окружности);
— $QK = QL$ (как радиусы второй окружности);
— сторона $PQ$ — общая.
Следовательно, треугольники $PKQ$ и $PLQ$ равны по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

4. Из равенства треугольников $PKQ$ и $PLQ$ следует равенство соответствующих углов: $\angle KPQ = \angle LPQ$ . Это означает, что луч $PQ$ является биссектрисой угла $KPL$ .

5. В равнобедренном треугольнике $KPL$ биссектриса $PQ$ , проведённая к основанию $KL$ , также является его высотой и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).

6. Так как $PQ$ содержит высоту треугольника $KPL$ , проведённую к стороне $KL$ , то прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ