Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $C D$ .
Точка $M$ $—$ середина стороны $A D$ . Докажите, что $C M$ $—$ биссектриса
угла $B C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи $M$ — середина стороны $AD$ . Это означает, что отрезок $AM$ равен $MD$ , и каждый из них равен половине стороны $AD$ :
$AM = MD = \frac{1}{2} AD$ .

2. Также по условию известно, что сторона $AD$ вдвое больше стороны $CD$ . Это можно записать как:
$CD = \frac{1}{2} AD$ .

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что:
$MD = CD$ .
Следовательно, треугольник $MCD$ является равнобедренным с основанием $MC$ .

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:
$\angle MCD = \angle CMD$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Отрезок $MC$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$ .
Углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MC$ . По свойству параллельных прямых:
$\angle BCM = \angle CMD$ .

6. Теперь посмотрим на полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle MCD = \angle CMD$ .
Из пункта 5: $\angle BCM = \angle CMD$ .
Отсюда следует, что $\angle BCM = \angle MCD$ .

7. Так как луч $CM$ делит угол $BCD$ на два равных угла ( $\angle BCM$ и $\angle MCD$ ), то по определению $CM$ является биссектрисой угла $BCD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ