Задание №24 — Геометрия

Решение.

1. По условию задачи $M$ — середина стороны $AD$. Это означает, что отрезок $AM$ равен $MD$, и каждый из них равен половине стороны $AD$:
$AM = MD = \frac{1}{2} AD$.

2. Также по условию известно, что сторона $AD$ вдвое больше стороны $CD$. Это можно записать как:
$CD = \frac{1}{2} AD$.

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что:
$MD = CD$.
Следовательно, треугольник $MCD$ является равнобедренным с основанием $MC$.

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:
$\angle MCD = \angle CMD$.

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Отрезок $MC$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$.
Углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MC$. По свойству параллельных прямых:
$\angle BCM = \angle CMD$.

6. Теперь посмотрим на полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle MCD = \angle CMD$.
Из пункта 5: $\angle BCM = \angle CMD$.
Отсюда следует, что $\angle BCM = \angle MCD$.

7. Так как луч $CM$ делит угол $BCD$ на два равных угла ($\angle BCM$ и $\angle MCD$), то по определению $CM$ является биссектрисой угла $BCD$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ