Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $A D$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $C D$ .
Точка $M$ $—$ середина стороны $A D$ . Докажите, что $C M$ $—$ биссектриса
угла $B C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. По условию задачи $M$ — середина стороны $AD$ . Это означает, что отрезок $AM$ равен $MD$ , и каждый из них равен половине стороны $AD$ :
$AM = MD = \frac{1}{2} AD$ .

2. Также по условию известно, что сторона $AD$ вдвое больше стороны $CD$ . Это можно записать как:
$CD = \frac{1}{2} AD$ .

3. Сравнивая результаты первого и второго шагов, мы видим, что:
$MD = CD$ .
Следовательно, треугольник $MCD$ является равнобедренным с основанием $MC$ .

4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит:
$\angle MCD = \angle CMD$ .

5. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны. Отрезок $MC$ является секущей для параллельных прямых $BC$ и $AD$ .
Углы $\angle BCM$ и $\angle CMD$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $MC$ . По свойству параллельных прямых:
$\angle BCM = \angle CMD$ .

6. Теперь посмотрим на полученные равенства углов:
Из пункта 4: $\angle MCD = \angle CMD$ .
Из пункта 5: $\angle BCM = \angle CMD$ .
Отсюда следует, что $\angle BCM = \angle MCD$ .

7. Так как луч $CM$ делит угол $BCD$ на два равных угла ( $\angle BCM$ и $\angle MCD$ ), то по определению $CM$ является биссектрисой угла $BCD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ