Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $x > 45$.
Обозначим всё расстояние между городами А и В за $S$. Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{x}$.

Теперь рассмотрим движение второго автомобиля. Он проехал путь в два этапа:
1) Первую половину пути ($\frac{S}{2}$) он ехал со скоростью $x - 6$ км/ч. Время на этом участке: $t_{2.1} = \frac{S/2}{x - 6} = \frac{S}{2(x - 6)}$.
2) Вторую половину пути ($\frac{S}{2}$) он ехал со скоростью $56$ км/ч. Время на этом участке: $t_{2.2} = \frac{S/2}{56} = \frac{S}{112}$.

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, их общее время в пути совпадает:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 6)} + \frac{S}{112}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 6)} + \frac{1}{112}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $112(x - 6)$:
$\frac{1}{x} = \frac{56 + (x - 6)}{112(x - 6)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x + 50}{112x - 672}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$112x - 672 = x(x + 50)$
$112x - 672 = x^2 + 50x$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 62x + 672 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:
$D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 672 = 3844 - 2688 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{62 + 34}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{62 - 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $45$ км/ч. Корень $x = 14$ не подходит под это условие. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $48$ км/ч.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ