Задание 21

Текстовая задача · 190 заданий

Задание №21
№21
Моторная лодка прошла против течения реки 297 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3 часа меньше, чем на путь против течен…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выпо…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Свежие фрукты содержат 79 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 к…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 140 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорост…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду,…
Текстовые задачи
Задание №21
№21
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объё…
Текстовые задачи

Задание №21 — Уравнения и неравенства

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал
весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути
со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 56 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 45 км/ч.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

Пусть $x$ км/ч — скорость первого автомобиля. По условию задачи $x > 45$ .
Обозначим всё расстояние между городами А и В за $S$ . Тогда время, затраченное первым автомобилем на весь путь, равно $t_1 = \frac{S}{x}$ .

Теперь рассмотрим движение второго автомобиля. Он проехал путь в два этапа:
1) Первую половину пути ( $\frac{S}{2}$ ) он ехал со скоростью $x - 6$ км/ч. Время на этом участке: $t_{2.1} = \frac{S/2}{x - 6} = \frac{S}{2(x - 6)}$ .
2) Вторую половину пути ( $\frac{S}{2}$ ) он ехал со скоростью $56$ км/ч. Время на этом участке: $t_{2.2} = \frac{S/2}{56} = \frac{S}{112}$ .

Так как автомобили прибыли в пункт В одновременно, их общее время в пути совпадает:
$\frac{S}{x} = \frac{S}{2(x - 6)} + \frac{S}{112}$

Поскольку расстояние $S$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $S$ :
$\frac{1}{x} = \frac{1}{2(x - 6)} + \frac{1}{112}$

Приведём дроби в правой части к общему знаменателю $112(x - 6)$ :
$\frac{1}{x} = \frac{56 + (x - 6)}{112(x - 6)}$
$\frac{1}{x} = \frac{x + 50}{112x - 672}$

Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$112x - 672 = x(x + 50)$
$112x - 672 = x^2 + 50x$
Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 62x + 672 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:
$D = (-62)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 672 = 3844 - 2688 = 1156$
$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{62 + 34}{2} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{62 - 34}{2} = \frac{28}{2} = 14$

По условию задачи скорость первого автомобиля больше $45$ км/ч. Корень $x = 14$ не подходит под это условие. Следовательно, скорость первого автомобиля равна $48$ км/ч.

Ответ: 48

Источник: ФИПИ