Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Рассмотрим данное уравнение: $x^{2} - 2x + \sqrt{4 - x} = \sqrt{4 - x} + 15$.

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
В уравнении присутствует квадратный корень. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, иначе уравнение не будет иметь смысла в действительных числах.
Составим неравенство: $4 - x \geq 0$.
Отсюда получаем: $x \leq 4$.
Это значит, что любые найденные нами корни должны удовлетворять этому условию.

Шаг 2. Упрощение уравнения.
Заметим, что в левой и правой частях уравнения стоит одно и то же слагаемое $\sqrt{4 - x}$. Мы можем вычесть его из обеих частей уравнения. При этом важно помнить про ОДЗ, найденное на первом шаге.
Уравнение примет вид:
$x^{2} - 2x = 15$.

Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Перенесем число $15$ в левую часть, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^{2} - 2x - 15 = 0$.
Решим его через дискриминант $D$:
$D = b^{2} - 4ac = (-2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$;
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Шаг 4. Проверка корней по ОДЗ.
Вспомним условие из первого шага: $x \leq 4$.
1) Проверим $x_{1} = 5$: число $5$ больше $4$, значит, этот корень не подходит (при $x = 5$ выражение под корнем становится отрицательным: $4 - 5 = -1$).
2) Проверим $x_{2} = -3$: число $-3$ меньше $4$, условие $x \leq 4$ выполняется. Следовательно, это единственный корень уравнения.

Ответ: -3

Источник: ФИПИ