Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $B C$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B$ .
Точка $K$ $—$ середина стороны $B C$ . Докажите, что $A K$ $—$ биссектриса
угла $B A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дан параллелограмм $ABCD$ , в котором $BC = 2AB$ . Точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Это означает, что отрезки $BK$ и $KC$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $BC$ :
$BK = KC = \frac{1}{2} BC$ .

2. Так как по условию $BC = 2AB$ , то $AB = \frac{1}{2} BC$ . Сравнивая это с предыдущим выводом, мы видим, что:
$AB = BK$ .

3. Рассмотрим треугольник $ABK$ . В этом треугольнике две стороны равны ( $AB = BK$ ), следовательно, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны:
$\angle BAK = \angle BKA$ .

4. Вспомним свойства параллелограмма. Противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ( $AD \parallel BC$ ). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны:
$\angle KAD = \angle BKA$ .

5. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
С одной стороны, $\angle BAK = \angle BKA$ .
С другой стороны, $\angle KAD = \angle BKA$ .
Следовательно, $\angle BAK = \angle KAD$ .

6. Так как углы $BAK$ и $KAD$ равны, это означает, что луч $AK$ делит угол $BAD$ пополам. По определению, $AK$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ