Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Сторона $B C$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B$ .
Точка $K$ $—$ середина стороны $B C$ . Докажите, что $A K$ $—$ биссектриса
угла $B A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дан параллелограмм $ABCD$ , в котором $BC = 2AB$ . Точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Это означает, что отрезки $BK$ и $KC$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $BC$ :
$BK = KC = \frac{1}{2} BC$ .

2. Так как по условию $BC = 2AB$ , то $AB = \frac{1}{2} BC$ . Сравнивая это с предыдущим выводом, мы видим, что:
$AB = BK$ .

3. Рассмотрим треугольник $ABK$ . В этом треугольнике две стороны равны ( $AB = BK$ ), следовательно, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны:
$\angle BAK = \angle BKA$ .

4. Вспомним свойства параллелограмма. Противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ( $AD \parallel BC$ ). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны:
$\angle KAD = \angle BKA$ .

5. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
С одной стороны, $\angle BAK = \angle BKA$ .
С другой стороны, $\angle KAD = \angle BKA$ .
Следовательно, $\angle BAK = \angle KAD$ .

6. Так как углы $BAK$ и $KAD$ равны, это означает, что луч $AK$ делит угол $BAD$ пополам. По определению, $AK$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ