Задание №24 — Геометрия

#48212Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Сторона $B C$ параллелограмма $A B C D$ вдвое больше стороны $A B$ .
Точка $K$ $—$ середина стороны $B C$ . Докажите, что $A K$ $—$ биссектриса
угла $B A D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1. Рассмотрим условие задачи. Нам дан параллелограмм $ABCD$ , в котором $BC = 2AB$ . Точка $K$ является серединой стороны $BC$ . Это означает, что отрезки $BK$ и $KC$ равны между собой и каждый из них равен половине стороны $BC$ :
$BK = KC = \frac{1}{2} BC$ .

2. Так как по условию $BC = 2AB$ , то $AB = \frac{1}{2} BC$ . Сравнивая это с предыдущим выводом, мы видим, что:
$AB = BK$ .

3. Рассмотрим треугольник $ABK$ . В этом треугольнике две стороны равны ( $AB = BK$ ), следовательно, треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AK$ . По свойству равнобедренного треугольника, углы при его основании равны:
$\angle BAK = \angle BKA$ .

4. Вспомним свойства параллелограмма. Противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ( $AD \parallel BC$ ). Отрезок $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны:
$\angle KAD = \angle BKA$ .

5. Теперь сопоставим полученные равенства углов:
С одной стороны, $\angle BAK = \angle BKA$ .
С другой стороны, $\angle KAD = \angle BKA$ .
Следовательно, $\angle BAK = \angle KAD$ .

6. Так как углы $BAK$ и $KAD$ равны, это означает, что луч $AK$ делит угол $BAD$ пополам. По определению, $AK$ является биссектрисой угла $BAD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ