Задание №20 — Уравнения и неравенства

Решение.

Данное уравнение является биквадратным относительно выражения $(x - 2)$. Для его решения удобно использовать метод введения новой переменной.

Шаг 1. Замена переменной.
Пусть $(x - 2)^2 = t$. Заметим, что квадрат любого числа не может быть отрицательным, поэтому наложим условие: $t \ge 0$.
Тогда исходное уравнение $(x - 2)^4 - (x - 2)^2 - 6 = 0$ примет вид квадратного уравнения относительно $t$:
$t^2 - t - 6 = 0$

Шаг 2. Решение квадратного уравнения.
Решим полученное уравнение через дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$
Найдём корни $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Шаг 3. Отбор корней и обратная замена.
Вспомним про условие $t \ge 0$.
Значение $t_2 = -2$ не подходит, так как квадрат числа не может быть равен отрицательному числу ($(x - 2)^2 = -2$ не имеет действительных корней).
Рассмотрим подходящее значение $t_1 = 3$:
$(x - 2)^2 = 3$

Шаг 4. Нахождение $x$.
Из уравнения $(x - 2)^2 = 3$ следует, что:
$x - 2 = \sqrt{3}$ или $x - 2 = -\sqrt{3}$
Перенесём $-2$ в правую часть с противоположным знаком:
1) $x_1 = 2 + \sqrt{3}$
2) $x_2 = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}; 2 + \sqrt{3}$

Источник: ФИПИ