Задание №21 — Уравнения и неравенства

Решение.

Для решения задачи составим математическую модель. Пусть $x$ литров в минуту — скорость наполнения (производительность) первой трубы. Тогда, согласно условию, вторая труба пропускает на 5 литров в минуту больше, то есть её производительность равна $x + 5$ литров в минуту.

Нам известно, что объём резервуара составляет 200 литров. Время, за которое труба заполняет резервуар, находится по формуле: $t = \frac{V}{v}$, где $V$ — объём, а $v$ — скорость.

1) Время работы первой трубы: $\frac{200}{x}$ минут.
2) Время работы второй трубы: $\frac{200}{x + 5}$ минут.

По условию задачи первая труба заполняет резервуар на 2 минуты дольше, чем вторая. Составим уравнение:
$\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 5} = 2$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения вычислений:
$\frac{100}{x} - \frac{100}{x + 5} = 1$

Приведём дроби к общему знаменателю $x(x + 5)$, учитывая, что $x > 0$:
$\frac{100(x + 5) - 100x}{x(x + 5)} = 1$
$\frac{100x + 500 - 100x}{x^2 + 5x} = 1$
$\frac{500}{x^2 + 5x} = 1$

Перейдём к квадратному уравнению:
$x^2 + 5x = 500$
$x^2 + 5x - 500 = 0$

Найдём дискриминант уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$
$\sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45$

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-5 + 45}{2} = \frac{40}{2} = 20$
$x_2 = \frac{-5 - 45}{2} = \frac{-50}{2} = -25$

Так как скорость наполнения трубы не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -25$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, первая труба пропускает 20 литров воды в минуту.

Ответ: 20

Источник: ФИПИ