Задание №23 — Геометрия

Решение.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$ ($\angle ABC = 90^{\circ}$). По условию, $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $AC$. Это означает, что отрезок $BH$ перпендикулярен $AC$, а точка $H$ лежит на гипотенузе.

2. Вспомним важное свойство прямоугольного треугольника: катет является средним геометрическим между всей гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. Для катета $AB$ его проекцией на гипотенузу $AC$ является отрезок $AH$.

3. Запишем это свойство в виде формулы: $AB^2 = AC \cdot AH$

4. Подставим в формулу известные нам значения из условия задачи ($AH = 9$, $AC = 36$): $AB^2 = 36 \cdot 9$

5. Чтобы найти $AB$, извлечём квадратный корень из полученного произведения. Удобнее извлекать корень из каждого множителя отдельно: $AB = \sqrt{36 \cdot 9} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{9}$ $AB = 6 \cdot 3 = 18$

Примечание: Эту же задачу можно решить через подобие треугольников. Треугольник $ABH$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам (угол $A$ у них общий, а углы $AHB$ и $ABC$ прямые). Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AB}{AC} = \frac{AH}{AB}$, что приводит к той же формуле $AB^2 = AC \cdot AH$.

Ответ: 18

Источник: ФИПИ