Задание №24 — Геометрия

#48222Задание №24ФИПИ

Окружность и круг

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $C C_{1} B_{1}$ и $C B B_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$ . По условию $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$ , следовательно, углы $AB_1B$ и $AC_1C$ равны $90^\circ$ . Эти треугольники имеют общий угол $A$ . Значит, треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников $ABB_1$ и $ACC_1$ следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB_1}{AC_1} = \frac{AB}{AC}$ . Переставим члены пропорции и получим: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$ .

3) Теперь рассмотрим треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ . У них угол $A$ — общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны (как мы доказали в предыдущем пункте: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$ ). Следовательно, треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из подобия треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ следует равенство соответствующих углов: $\angle AC_1B_1 = \angle ACB$ .

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ . В нём сумма острых углов равна $90^\circ$ , поэтому $\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$ . Аналогично, в прямоугольном треугольнике $CBB_1$ : $\angle CBB_1 = 90^\circ - \angle C$ .

6) Заметим, что точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на стороне $BC$ как на диаметре, так как углы $BB_1C$ и $BC_1C$ прямые и опираются на отрезок $BC$ . В этой окружности углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CB_1$ . По свойству вписанных углов, они равны.

7) Таким образом, $\angle CC_1B_1 = \angle CBB_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ