Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

В остроугольном треугольнике $A B C$ проведены высоты $B B_{1}$ и $C C_{1}$ . Докажите, что углы $C C_{1} B_{1}$ и $C B B_{1}$ равны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$ . По условию $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$ , следовательно, углы $AB_1B$ и $AC_1C$ равны $90^\circ$ . Эти треугольники имеют общий угол $A$ . Значит, треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников $ABB_1$ и $ACC_1$ следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB_1}{AC_1} = \frac{AB}{AC}$ . Переставим члены пропорции и получим: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$ .

3) Теперь рассмотрим треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ . У них угол $A$ — общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны (как мы доказали в предыдущем пункте: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$ ). Следовательно, треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из подобия треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ следует равенство соответствующих углов: $\angle AC_1B_1 = \angle ACB$ .

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ . В нём сумма острых углов равна $90^\circ$ , поэтому $\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$ . Аналогично, в прямоугольном треугольнике $CBB_1$ : $\angle CBB_1 = 90^\circ - \angle C$ .

6) Заметим, что точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на стороне $BC$ как на диаметре, так как углы $BB_1C$ и $BC_1C$ прямые и опираются на отрезок $BC$ . В этой окружности углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CB_1$ . По свойству вписанных углов, они равны.

7) Таким образом, $\angle CC_1B_1 = \angle CBB_1$ , что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ