Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$. По условию $BB_1$ и $CC_1$ — высоты треугольника $ABC$, следовательно, углы $AB_1B$ и $AC_1C$ равны $90^\circ$. Эти треугольники имеют общий угол $A$. Значит, треугольники $ABB_1$ и $ACC_1$ подобны по двум углам.

2) Из подобия треугольников $ABB_1$ и $ACC_1$ следует пропорциональность соответствующих сторон: $\frac{AB_1}{AC_1} = \frac{AB}{AC}$. Переставим члены пропорции и получим: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$.

3) Теперь рассмотрим треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$. У них угол $A$ — общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны (как мы доказали в предыдущем пункте: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC}$). Следовательно, треугольник $AB_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними).

4) Из подобия треугольников $AB_1C_1$ и $ABC$ следует равенство соответствующих углов: $\angle AC_1B_1 = \angle ACB$.

5) Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. В нём сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle BCC_1 = 90^\circ - \angle B$. Аналогично, в прямоугольном треугольнике $CBB_1$: $\angle CBB_1 = 90^\circ - \angle C$.

6) Заметим, что точки $B_1$ и $C_1$ лежат на окружности, построенной на стороне $BC$ как на диаметре, так как углы $BB_1C$ и $BC_1C$ прямые и опираются на отрезок $BC$. В этой окружности углы $CC_1B_1$ и $CBB_1$ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу $CB_1$. По свойству вписанных углов, они равны.

7) Таким образом, $\angle CC_1B_1 = \angle CBB_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ