Задание №24 — Геометрия

#48225Задание №24ФИПИ

Многоугольники

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $N$ , лежащей на стороне $C D$ . Докажите, что $N$ $—$ середина $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $AB \parallel CD$ . Биссектриса $AN$ угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$ . При параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAN = \angle DNA$ .

2) Так как $AN$ — биссектриса угла $A$ , то $\angle BAN = \angle DAN$ . Из этого и предыдущего равенства следует, что $\angle DNA = \angle DAN$ . Рассмотрим треугольник $ADN$ : в нём два угла при основании $AN$ равны, значит, треугольник $ADN$ — равнобедренный с основанием $AN$ . Следовательно, его боковые стороны равны: $AD = DN$ .

3) Аналогично рассмотрим биссектрису $BN$ угла $B$ . При параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BN$ накрест лежащие углы равны: $\angle ABN = \angle CNB$ . Так как $BN$ — биссектриса угла $B$ , то $\angle ABN = \angle CBN$ . Значит, $\angle CNB = \angle CBN$ .

4) Рассмотрим треугольник $BCN$ : в нём два угла при основании $BN$ равны, значит, треугольник $BCN$ — равнобедренный с основанием $BN$ . Следовательно, его боковые стороны равны: $BC = CN$ .

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AD = BC$ . Учитывая полученные ранее равенства $DN = AD$ и $CN = BC$ , получаем: $DN = CN$ .

6) Так как точка $N$ лежит на стороне $CD$ и делит её на два равных отрезка ( $DN = CN$ ), то точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ