Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$ пересекаются
в точке $N$ , лежащей на стороне $C D$ . Докажите, что $N$ $—$ середина $C D$ .

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим параллелограмм $ABCD$ . По свойству параллелограмма противоположные стороны параллельны, значит, $AB \parallel CD$ . Биссектриса $AN$ угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$ . При параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AN$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAN = \angle DNA$ .

2) Так как $AN$ — биссектриса угла $A$ , то $\angle BAN = \angle DAN$ . Из этого и предыдущего равенства следует, что $\angle DNA = \angle DAN$ . Рассмотрим треугольник $ADN$ : в нём два угла при основании $AN$ равны, значит, треугольник $ADN$ — равнобедренный с основанием $AN$ . Следовательно, его боковые стороны равны: $AD = DN$ .

3) Аналогично рассмотрим биссектрису $BN$ угла $B$ . При параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BN$ накрест лежащие углы равны: $\angle ABN = \angle CNB$ . Так как $BN$ — биссектриса угла $B$ , то $\angle ABN = \angle CBN$ . Значит, $\angle CNB = \angle CBN$ .

4) Рассмотрим треугольник $BCN$ : в нём два угла при основании $BN$ равны, значит, треугольник $BCN$ — равнобедренный с основанием $BN$ . Следовательно, его боковые стороны равны: $BC = CN$ .

5) В параллелограмме противоположные стороны равны, то есть $AD = BC$ . Учитывая полученные ранее равенства $DN = AD$ и $CN = BC$ , получаем: $DN = CN$ .

6) Так как точка $N$ лежит на стороне $CD$ и делит её на два равных отрезка ( $DN = CN$ ), то точка $N$ является серединой стороны $CD$ . Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано.

Источник: ФИПИ