Задание №20 — Алгебраические выражения

Решение.

Проанализируем структуру уравнения. Оно представляет собой сумму двух квадратов: $(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0$.

Вспомним важное свойство: квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). То есть $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных выражений может быть равна нулю только в одном случае: когда каждое из этих выражений одновременно равно нулю.

Таким образом, наше уравнение равносильно системе уравнений: $\begin{cases} x^2 - 25 = 0 \\ x^2 + 3x - 10 = 0 \end{cases}$

Шаг 1. Решим первое уравнение системы:
$x^2 - 25 = 0$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$.

Шаг 2. Решим второе уравнение системы:
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Воспользуемся теоремой Виета или дискриминантом. Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.
Корни уравнения:
$x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.
$x_3 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2$;
$x_4 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.

Шаг 3. Найдём общее решение:
Так как оба выражения в исходном уравнении должны обратиться в ноль одновременно, нам нужно найти такое значение $x$, которое является корнем и первого, и второго уравнения (пересечение множеств корней).
Корни первого уравнения: $\{5; -5\}$.
Корни второго уравнения: $\{2; -5\}$.
Общим корнем является число $-5$.

Ответ: -5

Источник: ФИПИ