Задание 23

Геометрическая задача на вычисление · 142 задания

Задание №23
№23
Высота A H ромба A B C D делит сторону C D на отрезки D H = 21 и C H = 8 . Найдите высоту ромба.
Многоугольники
Задание №23
№23
Отрезки A B и D C лежат на параллельных прямых, а отрезки A C и B D пересекаются в точке M . Найдите M C , если A B = 16 , D C = 24 , A C = 25 .
Треугольник
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты B H , проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника A B C . Окружность с диаметром B H пересека…
Окружность и круг
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 32 , B F = 24 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Прямая, параллельная основаниям трапеции A B C D , пересекает её боковые стороны A B и C D в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка E F ,…
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 24 , B F = 7 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 7 , C K = 12 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Найдите боковую сторону A B трапеции A B C D , если углы A B C и B C D равны соответственно 30 ° и 120 ° , а C D = 25 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне A B трапеции A B C D пересекаются в точке F . Найдите A B , если A F = 12 , B F = 5 .
Многоугольники
Задание №23
№23
Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24…
Треугольник
Задание №23
№23
Биссектриса угла A параллелограмма A B C D пересекает сторону B C в точке K . Найдите периметр параллелограмма, если B K = 9 , C K = 15 .
Многоугольники

Задание №23 — Геометрия

Отрезки $A B$ и $C D$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $C D$ , если $A B = 12$ , а расстояния от центра окружности до хорд $A B$ и $C D$ равны соответственно 8 и 6.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$ . Пусть $OH$ — расстояние от центра до хорды $AB$ , а $OK$ — расстояние от центра до хорды $CD$ . По условию задачи $OH = 8$ , $OK = 6$ , $AB = 12$ .

2) Рассмотрим треугольник $AOB$ . Так как $OA = OB = R$ , треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$ , проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$ .

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$ ). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R^2$ : $R^2 = OA^2 = AH^2 + OH^2$ $R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ . Отсюда $R = \sqrt{100} = 10$ .

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$ . Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 10$ . Высота $OK = 6$ является медианой, значит, $CK = KD = \frac{CD}{2}$ .

5) Из прямоугольного треугольника $COK$ (угол $K = 90^\circ$ ) по теореме Пифагора найдём отрезок $CK$ : $CK^2 = OC^2 - OK^2$ $CK^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $CK = \sqrt{64} = 8$ .

6) Так как $K$ — середина $CD$ , то длина всей хорды равна: $CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 8 = 16$ .

Ответ: 16

Источник: ФИПИ