Задание №23 — Геометрия

Решение.

1) Пусть $O$ — центр данной окружности, а $R$ — её радиус. Проведём перпендикуляры из центра $O$ к хордам $AB$ и $CD$. Пусть $OH$ — расстояние от центра до хорды $AB$, а $OK$ — расстояние от центра до хорды $CD$. По условию задачи $OH = 8$, $OK = 6$, $AB = 12$.

2) Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA = OB = R$, треугольник $AOB$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике высота $OH$, проведённая к основанию, также является медианой. Следовательно, точка $H$ делит хорду $AB$ пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ (угол $H = 90^\circ$). По теореме Пифагора найдём квадрат радиуса окружности $R^2$: $R^2 = OA^2 = AH^2 + OH^2$ $R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. Отсюда $R = \sqrt{100} = 10$.

4) Теперь рассмотрим треугольник $COD$. Он также является равнобедренным, так как $OC = OD = R = 10$. Высота $OK = 6$ является медианой, значит, $CK = KD = \frac{CD}{2}$.

5) Из прямоугольного треугольника $COK$ (угол $K = 90^\circ$) по теореме Пифагора найдём отрезок $CK$: $CK^2 = OC^2 - OK^2$ $CK^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ $CK = \sqrt{64} = 8$.

6) Так как $K$ — середина $CD$, то длина всей хорды равна: $CD = 2 \cdot CK = 2 \cdot 8 = 16$.

Ответ: 16

Источник: ФИПИ