Задание №24 — Геометрия

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$. По условию задачи около него можно описать окружность. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$. Следовательно, для углов $A$ и $C$ выполняется равенство:
$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$.

2) Рассмотрим угол $BCM$. Он является смежным с углом $BCD$ четырёхугольника. Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ}$, мы можем выразить его величину:
$\angle BCM = 180^{\circ} - \angle BCD$.

3) Из первого пункта мы знаем, что $\angle DAB = 180^{\circ} - \angle BCD$. Сравнивая это с выражением из второго пункта, получаем:
$\angle BCM = \angle DAB$ (или $\angle BCM = \angle DAM$).

4) Теперь рассмотрим треугольники $MBC$ и $MDA$:
— Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
— $\angle BCM = \angle DAM$ (как было доказано выше).

5) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (первый признак подобия треугольников).
Таким образом, $\triangle MBC \sim \triangle MDA$ по двум углам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ