Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24
Сторона B C параллелограмма A B C D вдвое больше стороны C D . Точка K — середина стороны B C . Докажите, что D K — биссектриса угла A D C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Сторона A D параллелограмма A B C D вдвое больше стороны A B . Точка M — середина стороны A D . Докажите, что B M — биссектриса угла A B C .
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 4 и 64, B D = 16 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Внутри параллелограмма A B C D выбрали произвольную точку E . Докажите, что сумма площадей треугольников B E C и A E D равна половине площади параллел…
Многоугольники
Задание №24
№24
В остроугольном треугольнике A B C проведены высоты A A_1 и C C_1 . Докажите, что углы C C_1 A_1 и C A A_1 равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 45, B D = 15 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
В выпуклом четырёхугольнике A B C D углы C D B и C A B равны. Докажите, что углы B C A и B D A также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 9 и 36, B D = 18 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
На средней линии трапеции A B C D с основаниями A D и B C выбрали произвольную точку F . Докажите, что сумма площадей треугольников B F C и A F D равн…
Многоугольники
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 6 и 24, B D = 12 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 5 и 20, B D = 10 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник
Задание №24
№24
Основания B C и A D трапеции A B C D равны соответственно 2 и 32, B D = 8 . Докажите, что треугольники C B D и B D A подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Известно, что около четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность
и что продолжения сторон $A B$ и $C D$ четырёхугольника пересекаются
в точке $M$ . Докажите, что треугольники $M B C$ и $M D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ . По условию задачи около него можно описать окружность. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Следовательно, для углов $A$ и $C$ выполняется равенство:
$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$ .

2) Рассмотрим угол $BCM$ . Он является смежным с углом $BCD$ четырёхугольника. Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ , мы можем выразить его величину:
$\angle BCM = 180^{\circ} - \angle BCD$ .

3) Из первого пункта мы знаем, что $\angle DAB = 180^{\circ} - \angle BCD$ . Сравнивая это с выражением из второго пункта, получаем:
$\angle BCM = \angle DAB$ (или $\angle BCM = \angle DAM$ ).

4) Теперь рассмотрим треугольники $MBC$ и $MDA$ :
— Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
— $\angle BCM = \angle DAM$ (как было доказано выше).

5) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (первый признак подобия треугольников).
Таким образом, $\triangle MBC \sim \triangle MDA$ по двум углам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ