Задание 24

Геометрическая задача на доказательство · 60 заданий

Задание №24
№24Среднее
Сторона BC параллелограмма ABCD вдвое больше стороны CD. Точка K — середина стороны BC. Докажите, что DK — биссектриса угла ADC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Сторона AD параллелограмма ABCD вдвое больше стороны AB. Точка M — середина стороны AD. Докажите, что BM — биссектриса угла ABC.
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD = 16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Сложное
Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади параллелограмма.
Многоугольники
Задание №24
№24Сложное
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁. Докажите, что углы CC₁ A₁ и CAA₁ равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 45, BD = 15. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Лёгкое
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы CDB и CAB равны. Докажите, что углы BCA и BDA также равны.
Окружность и круг
Задание №24
№24Лёгкое
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 9 и 36, BD = 18. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку F. Докажите, что сумма площадей треугольников BFC и AFD равна половине…
Многоугольники
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 6 и 24, BD = 12. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 5 и 20, BD = 10. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник
Задание №24
№24Среднее
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 2 и 32, BD = 8. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
Треугольник

Задание №24 — Геометрия

Известно, что около четырёхугольника $A B C D$ можно описать окружность
и что продолжения сторон $A B$ и $C D$ четырёхугольника пересекаются
в точке $M$ . Докажите, что треугольники $M B C$ и $M D A$ подобны.

Ваше решениедо 2 баллов

Запишите решение задачи...

Решение

Решение.

1) Рассмотрим четырёхугольник $ABCD$ . По условию задачи около него можно описать окружность. Вспомним важное свойство вписанного четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $180^{\circ}$ . Следовательно, для углов $A$ и $C$ выполняется равенство:
$\angle DAB + \angle BCD = 180^{\circ}$ .

2) Рассмотрим угол $BCM$ . Он является смежным с углом $BCD$ четырёхугольника. Так как сумма смежных углов равна $180^{\circ}$ , мы можем выразить его величину:
$\angle BCM = 180^{\circ} - \angle BCD$ .

3) Из первого пункта мы знаем, что $\angle DAB = 180^{\circ} - \angle BCD$ . Сравнивая это с выражением из второго пункта, получаем:
$\angle BCM = \angle DAB$ (или $\angle BCM = \angle DAM$ ).

4) Теперь рассмотрим треугольники $MBC$ и $MDA$ :
— Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.
— $\angle BCM = \angle DAM$ (как было доказано выше).

5) Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (первый признак подобия треугольников).
Таким образом, $\triangle MBC \sim \triangle MDA$ по двум углам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

Источник: ФИПИ